【簡単】波動力学とは|シュレーディンガー方程式を算出

【簡単】波動力学とは|シュレーディンガー方程式を算出 自然科学

「波動力学って何? 波動関数とは? シュレーディンガー方程式って何? 物理学ってなんだか難しそうだな…」

こういった疑問に理学修士(物理学)の筆者が答えます。

結論

波動力学とはシュレーディンガーが提唱した「量子は状態ベクトルが運動するものと考え、量子の存在確率などを計算する学問」です。詳細は本記事にて解説します。

本記事の参考文献

本記事の内容

波動力学とは

波動力学

波動力学とはシュレーディンガーが提唱した「量子は状態ベクトルが運動するものと考え、量子の存在確率などを計算する学問」です。例えば電子(量子の一種)などのミクロな物質はサッカーボールのような大きなものと違い、位置と速度(運動量)を確率でしか計算できません。というのも、電子のようなミクロな物質は位置を測定しようとしたら速度が変わり、速度を測定しようとしたら位置がかわるのです。このような現象を不確定性原理といいます。こういった量子の状態(位置や速度)を確率で表そうとするのが波動力学となります。
ちなみに量子の状態を表すには波動力学の他にもハイゼンベルグの行列力学、ファイマンの経路積分法、少しマイナーですが確率過程量子化、パイロット波理論などがあり、これらすべてが正しい量子力学なのです。つまり波動力学は量子状態を表す手法の1つなのです。
波動力学と行列力学との違いは、「量子はベクトルが運動するものと考えるか行列が運動するものと考えるか」です。波動力学では「量子はベクトルが運動するもの(行列は動かない)」と考え、行列力学では「量子は行列が運動するもの(ベクトルは動かない)」と考えるのです。

波動関数

波動関数とは宇宙各点における量子の存在密度を表す関数です。波動関数は状態ベクトルと任意の次元成分との内積で求めることができます。
例えば時刻tで変化する状態ベクトルをΨ(t)とします。状態ベクトルとは宇宙のすべての点での量子情報を持つ無限次元ベクトルです。つまり状態ベクトルが時間変化すると、宇宙の全空間が波のように振る舞うのです。しかし私たちは3次元の情報しか理解できないので、今回は位置xだけに存在しているΨxという長さ1のベクトルを用意します。そしてΨ(t)とΨxの内積をとると、量子が位置xにどの程度の割合で存在するかということを算出することができるのです。

シュレーディンガー方程式とは

シュレーディンガー方程式

シュレーディンガー方程式(上式参照)とは波動関数の方程式で、量子の存在確率を求めることができます。ハイゼンベルグ方程式でも量子の存在確率を求めることができますが少し利便性が悪く、それに対してシュレーディンガー方程式は微分方程式の知識などで解くことができ、量子力学ではシュレーディンガー方程式の方がよく使われます。ちなみにシュレーディンガーはシュレーディンガー方程式を朝目覚めた時に思いついたようです。

シュレーディンガー方程式の導出

ハイゼンベルグ方程式

シュレーディンガー方程式はハイゼンベルグ方程式から導出することができます。難しいので読み飛ばしOKです。
ハイゼンベルグ方程式は上式①のように書きます。[H^(t),A^(t)]は交換子といい、展開すると上式②になります。そしてこの式を整理すると式③になります。

時間発展行列

式③A(0)の左右は複素共役(α+iβとα-iβのように掛けたら2乗の和になる関係)になるので、式④のように置くと、式⑤になります。ちなみに†(ダガー)は複素共役という意味です。
式⑤は行列T(δt)でA^(0)を挟むと、時間がδtだけ進行してA^(δt)に変化したことを意味するので、T^(δt)は時間発展行列と呼びます。

ハイゼンベルグ描像

行列力学では物理量Aの期待値は式⑥で表されます。では⑤式の期待値で表すと⑦式になることがわかります。また⑦式を構造を変えた⑧式をハイゼンベルグ描像といいます。

シュレーディンガー描写

さらに⑧式の構造を変えた⑨式がシュレーディンガー描写といいます。ハイゼンベルグ描写はシュレーディンガー描写の違いは物理量を変化させるか、状態ベクトルを変化させるかの違いです。ハイゼンベルグ描写のT(δt)†A(0)T(δt)は物理量A^(0)をT^(δt)で変化させました。しかし、シュレーディンガー描写は物理量A^(0)は変化させないよう区切ります。そしてT^(δt)Ψ0Ψ0を時間変化させているのです。T^(δt)Ψ0は時間が δtだけ経ったベクトルΨ(δt)と解釈でき、これを式で表すと⑩式Ψ(t+δt)=T^(δt)Ψ(t)と書くことができます。⑩式に⑤式を入れると⑪式になります。

シュレーディンガー方程式算出

⑪を変形すると⑫式になります。⑫式は高校で習う微分の形なの⑬式となり。これが有名なシュレーディンガー方程式なのです。

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