【簡単】ロケットの燃料はどのくらい必要か

ロケットの燃料はどのくらい必要か 宇宙
【簡単】ロケットの燃料はどのくらい必要か

「ロケットの燃料ってどのくらい必要なの? ロケットの燃料ってどうやって計算するの? 物理学って何だか難しそうだな…」

こういった疑問に物理学修士の筆者が答えます。

結論

ロケットの燃料は、衛星軌道に飛ばすならロケットの51.9倍の質量、地球の重力が及ばないところまで飛ばすならロケットの270倍の質量が必要です。詳細は本記事にて解説します。

本記事の参考文献

本記事の内容

ロケットの燃料の重さ

ロケットの燃料の重さ

ロケットの燃料の重さはeV/V0=M0/Mで求めることができます。例えば、化学燃料の典型的な噴出速度V0=2.0km/s、ロケットが重力圏から脱出する速度V=11.2km/sが必要なので、対数部分が5.6となりM0/M=e5.6=270.41
つまり、宇宙探査船は宇宙探査船の270倍の燃料がないといけない計算になります。
このようにロケットの燃料は、衛星軌道に飛ばすならロケットの51.9倍の質量、地球の重力が及ばないところまで飛ばすならロケットの270倍の質量が必要なのです。

ロケットの燃料を算出

ロケットのはじめの質量は M0kg であって、dm/dt=-r0kgs-1という一定の割合で燃えた燃料を速度V0で噴き出すとすると、ロケットの最初の加速度はロケットが下に放り出した燃料の運動量に等しいので、
M0adt = -dmV0という等式が成り立ちます。これにdmを代入して、両辺からdtを消去すれば、
a=r0V0/M0
という加速度の式が求まります。
もし、V0=2.0kms-1、推力105kg重を得るためには、1秒に何kgの燃料を吐き出す必要があるかというと、
F (推力) = M0a=105kg重≒106kgm/s2
という式を書くことができる。ここでr0=M0a/V0とV0=2.0km/s(=2.0×103m/s) を代入すれば、
r0=500kg/sが求まります。
またロケットの速さと質量を結びつける微分方程式を求めるには、
時間tにおいて、ロケットの運動量がMVだとする。直後の時間 (t+dt)では、ロケットの質重は(M+ dM)、ロケットの速度は(V+dV)になり、噴出した燃料の運動量は(-dMV-V0)になります。そして、時間tと時間(t+dt)で、全運動量は等しいので、
MV=(M+dM)(V+dV)-dM(V-V0)
という式になり、これからdMdVは微小なので無視すると
MdV=-dMV0
dV/V0=-dM/M
左辺に V、右辺にMに関係する項を集めて、
両辺を積分して、
0VdV/V0=∫M0MdM/M
V0は定数なので、左辺はVとなり、右辺は自然対数のlogになるから、
V=-V[logM]M0M
= -V0(logM-logM0)
が解になる。あるいは、
V=V0logM0/M
eV/V0=M0/M
これはロケットの教科書には必ずでてくる式で、ロケットを宇宙に飛ばすには飛ばしたい質量の何倍の燃料が必要かがわかります。例えば、化学燃料の典型的な噴出速度2.0km/s、ロケットが地球の低い軌道を通る衛星になるためには速度V =7.9km/sが必要なので、質量比の対数が3.95になります。つまり質量比は
M0/M=e3.95=51.9
つまり、人工衛星の質量の51.9倍の燃料が必要になるのです。
さらに重力圏から脱出する速度V=11.2km/sが必要なら、対数部分が5.6となるので、
M0/M=e5.6=270.41
つまり、宇宙探査船は270倍の燃料がないといけない計算になります。
ロケットの打ち上げをテレビで見ると、何段もブースターを捨てて、最終的に小さな探査船が宇宙空間に放出されることがわかると思います。実際に計算はもっと複雑ですが、それほど燃料が必要なのです。

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